compact (-2x^3 + 13x^2 - 19x + 1)/(2x^4 - 9x^3 - 6x^2 + 17x - 2)

we have \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{a^2+2ab+b^2-ab}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}\left(a+b\right)}{2}\)

 similar \(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(b+c\right)}{2}\)

​ ​\(\sqrt{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a+c\right)}{2}\)

\(p\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a+b\right)}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\left(a+c\right)}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\left(b+c\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.9=9\sqrt{3}\)

so max \(p=9\sqrt{3}\)

​ ​​ ​

​ ​​ ​​ ​

\(2^{2000}\equiv9\left(mod13\right)\)

we have \(16^{n-1}=\dfrac{16^n}{16}=\dfrac{\left(2^n\right)^4}{16}=\dfrac{3^4}{16}=\dfrac{81}{16}\)

\(A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+2^{11}\)

\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+2^{11}\right)\)

\(-\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)\)

\(A=2^{11}-2\)

\(A=2\left(2^{10}-1\right)\)

\(\)we have  \(2^{10}\)divide 3 residual 1

should \(2^{10}-1⋮3\)

\(\Rightarrow2\left(2^{10}-1\right)⋮3\)or \(A⋮3\)

kinh thế bạn gian lận thì sao admin tích là ok

What is the units digit of \(1!+2!+3!+...+2014!\)?

75+12+43+25+88+50+57=75+25+12+88+43+57+50=100+100+100+57=350

75+12+43+25+88+50+57=75+25+12+88+43+57+50=100+100+100+57=357

75+34+43+25+66+57=75+25+34+66+43+57=100+100+100=300

75+34+43+25+66=75+25+34+66+43=100+100+43=243

Calculate : \(A=\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+99}+\dfrac{1}{50}\)

\(A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{4950}+\dfrac{1}{50}\)

\(\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+...+\dfrac{1}{9900}+\dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2}\)

\(A=1\)

1543484746179133212380518495784122284515471342036414969342118701647211012606114859931207924587673380625229280221212683282353723239152585429306736463900520722108550905719776465427885985538640523407030815574783478682235598989586552789226932200928206002700976224693627644759122014056959477918797217129076228560930498783871001329796062175870300131494981791599993640553654916004304857269251280043436733267563774982564820526619332865306132724790774948824756755943273340960087759519432699199975174387738571738273365609775808406416952234516404269820972088109729512231886885776970544340641228055806107756526003763412613341326441023410986924084959588185107784019786744057645947972125031706368799190915569255296536912246851157255236538385268500711034205168910870083336883031047808003662215398936144673419648213068082119850641100126316884369801532481891687213078297982829971917823215647397221885072089585939579641860103998121574792658020280650188792901255104670431246813253879809296114264141054723635186116370823271377716178767914999742571326724899958799104050495111620045225050272558583265133575947158417262613199527810176731652519679464038734733974816953788741238251721034660059774122578200558377306490962726320153162341736542722408360610534239129595415118608826617475041989516898949638389636668799848832903508094552819454582740102571080481644070304104098573802491222419303822248414863644101588990862432867228050223343666132653124204362967730029568419593320932660147562768482970531890869937693042834253123394501952156729585152709876739695887378516459039167065959540846232761153803399378542755024239170719957872834197630618949600200387053026218963203137171778131625582026611291129087403477990013461375985551035905655837418077032187010641274929829865377944740575897615240516416668823593269117198516555306861536129640805860966988203651850625435605327044859724350224371633499469064742913679094178773161507913179723297546548468891375683057520690934223723423121075332368633296910182059152264333855772239666626011988568403304937138974586572904352072179559749210458535009883536503631304583451738510331265455766574633794292603893542419004992488151824435275830896294830415190771209769046841379824799844991739548878070014992655632303458854241787874470109334242900391083884375028235613209184259041403573303416288621266929334320766989165751127632491837371617169964604397456084287166587945556628060497750797196409495222908889444424056637027496093281703941331058552827940921139749054257506623952186070797273402574939559726853913102448962206589481036142009662371123096045483980845727416438180008109126703441616730904521998166756562006595554720902822106390470425093776920060602714426808672175111554837355409714864577519051820534890857056845905531543047935368686476107934050984819191929619953220048214047999372723224082717241537295242105443913766123777009266832614825952915997150324493012261039636702127024927948998813694848826016283127693590951889848519837452871735914629001506093636247280781763723650582028376707921476567694876077630489571854884250244110381062175593477873102842467893828728622564209393047020910533407495880922733081545915291710954388539830962681142751214148014369304949271705577448757491076004084143155181112082522556761941060713397082257280989542787985141258161567758856627586374886176690693925496946888169166987562074112409077144396130531801943545687109326891432333301379621017076073655118136302327727941111282700262579720649129166862161101161468688784189754212815038059339583560385523571108700369339899791258852255361861536602355732849301185536421457359390183200464149911574249543095034365622052889169924540368292131940458046689182972290321593212706248844570063866459606279150316563330236014393681956752088568548444570248437773945229297144078005107632436072321160638206237031539073014700785766547892654669693348758132084611664920323586972794488989459285549487244096375092314928807178988194998192756874592965117981831747379415809667113730615079534938966385396291726618442028648693329645315664946632471698651924364666702623121965752749662590325356561311826875723168131451504213619401203754387669613692533349092729305241499050078118482785056176908771322669987037127363542176507400475597122392827894054154468258172959597103927329584376174553658298128562085613388941197444398917120392614087701587403308996938373191501931958745265925835803769487481479550278395518465685882318591230519594737505428393698986859968716365110797095460750178478748382219455654229574781646893585109375710255839402646456449348184591473185070321889206265105028231389332358016485793387152751932808979875294180457838733873524604120346190912833462841791425558460173818209129373404120680909372147357198658584483850544668088493591147094038503573505968233391816184751912837105628419453894496012307961018947707207999952397598127172259976031898569596895210158480672055082379578220694072514979388453714653037079260364962765360854743942158956626328375574021287850498650445741774417320018511137130380116843859929844204486297092700813358737419956761525143912291355321663980032900276816788615371211494308716773211945185446939962762113215826371493478477805225788601409315500709793506371685581294198074780123137359345523813092178173369894051517420187665256714869662301960512835773094974618627924926161963709554678405703152690629110655357759410411110468315121827617415538087604687081392427203414663842240671230999771893549268108974449603436326079891632998098048832478124485729262310577972899177102574042935242680280394970165913050392697007405618272516585316778524993421875447669268047317103845936053286729614907360842166425364211833077909603509601659231738269978173734732669553102199205304322657852621517357188940619685900494561909195528252583118421704416011115605600388432955167020090274050007979408954679557428790058155202946298798904313607491582593491171235696921724808199661163382908495237250863616076687995332804906829233424078249748903280350585277395862631484525940041352301170749793326511381947443649464156703093376202734896922712925645565709970339665679980142755082857500826419171734355297469098263768900650977176040937830439681844189076808547736256568600064607494478585926569749377051647307793778653913729887208861816457550164850134271278201314926064219465595668938476948490993168002105884738596613976939475723095129410301184225964020713598547979125863856570172346063025277737331569002134719350081203813912842595047932639453661124726282616125921220507911586848952321

answer 

1543484746179133212380518495784122284515471342036414969342118701647211012606114859931207924587673380625229280221212683282353723239152585429306736463900520722108550905719776465427885985538640523407030815574783478682235598989586552789226932200928206002700976224693627644759122014056959477918797217129076228560930498783871001329796062175870300131494981791599993640553654916004304857269251280043436733267563774982564820526619332865306132724790774948824756755943273340960087759519432699199975174387738571738273365609775808406416952234516404269820972088109729512231886885776970544340641228055806107756526003763412613341326441023410986924084959588185107784019786744057645947972125031706368799190915569255296536912246851157255236538385268500711034205168910870083336883031047808003662215398936144673419648213068082119850641100126316884369801532481891687213078297982829971917823215647397221885072089585939579641860103998121574792658020280650188792901255104670431246813253879809296114264141054723635186116370823271377716178767914999742571326724899958799104050495111620045225050272558583265133575947158417262613199527810176731652519679464038734733974816953788741238251721034660059774122578200558377306490962726320153162341736542722408360610534239129595415118608826617475041989516898949638389636668799848832903508094552819454582740102571080481644070304104098573802491222419303822248414863644101588990862432867228050223343666132653124204362967730029568419593320932660147562768482970531890869937693042834253123394501952156729585152709876739695887378516459039167065959540846232761153803399378542755024239170719957872834197630618949600200387053026218963203137171778131625582026611291129087403477990013461375985551035905655837418077032187010641274929829865377944740575897615240516416668823593269117198516555306861536129640805860966988203651850625435605327044859724350224371633499469064742913679094178773161507913179723297546548468891375683057520690934223723423121075332368633296910182059152264333855772239666626011988568403304937138974586572904352072179559749210458535009883536503631304583451738510331265455766574633794292603893542419004992488151824435275830896294830415190771209769046841379824799844991739548878070014992655632303458854241787874470109334242900391083884375028235613209184259041403573303416288621266929334320766989165751127632491837371617169964604397456084287166587945556628060497750797196409495222908889444424056637027496093281703941331058552827940921139749054257506623952186070797273402574939559726853913102448962206589481036142009662371123096045483980845727416438180008109126703441616730904521998166756562006595554720902822106390470425093776920060602714426808672175111554837355409714864577519051820534890857056845905531543047935368686476107934050984819191929619953220048214047999372723224082717241537295242105443913766123777009266832614825952915997150324493012261039636702127024927948998813694848826016283127693590951889848519837452871735914629001506093636247280781763723650582028376707921476567694876077630489571854884250244110381062175593477873102842467893828728622564209393047020910533407495880922733081545915291710954388539830962681142751214148014369304949271705577448757491076004084143155181112082522556761941060713397082257280989542787985141258161567758856627586374886176690693925496946888169166987562074112409077144396130531801943545687109326891432333301379621017076073655118136302327727941111282700262579720649129166862161101161468688784189754212815038059339583560385523571108700369339899791258852255361861536602355732849301185536421457359390183200464149911574249543095034365622052889169924540368292131940458046689182972290321593212706248844570063866459606279150316563330236014393681956752088568548444570248437773945229297144078005107632436072321160638206237031539073014700785766547892654669693348758132084611664920323586972794488989459285549487244096375092314928807178988194998192756874592965117981831747379415809667113730615079534938966385396291726618442028648693329645315664946632471698651924364666702623121965752749662590325356561311826875723168131451504213619401203754387669613692533349092729305241499050078118482785056176908771322669987037127363542176507400475597122392827894054154468258172959597103927329584376174553658298128562085613388941197444398917120392614087701587403308996938373191501931958745265925835803769487481479550278395518465685882318591230519594737505428393698986859968716365110797095460750178478748382219455654229574781646893585109375710255839402646456449348184591473185070321889206265105028231389332358016485793387152751932808979875294180457838733873524604120346190912833462841791425558460173818209129373404120680909372147357198658584483850544668088493591147094038503573505968233391816184751912837105628419453894496012307961018947707207999952397598127172259976031898569596895210158480672055082379578220694072514979388453714653037079260364962765360854743942158956626328375574021287850498650445741774417320018511137130380116843859929844204486297092700813358737419956761525143912291355321663980032900276816788615371211494308716773211945185446939962762113215826371493478477805225788601409315500709793506371685581294198074780123137359345523813092178173369894051517420187665256714869662301960512835773094974618627924926161963709554678405703152690629110655357759410411110468315121827617415538087604687081392427203414663842240671230999771893549268108974449603436326079891632998098048832478124485729262310577972899177102574042935242680280394970165913050392697007405618272516585316778524993421875447669268047317103845936053286729614907360842166425364211833077909603509601659231738269978173734732669553102199205304322657852621517357188940619685900494561909195528252583118421704416011115605600388432955167020090274050007979408954679557428790058155202946298798904313607491582593491171235696921724808199661163382908495237250863616076687995332804906829233424078249748903280350585277395862631484525940041352301170749793326511381947443649464156703093376202734896922712925645565709970339665679980142755082857500826419171734355297469098263768900650977176040937830439681844189076808547736256568600064607494478585926569749377051647307793778653913729887208861816457550164850134271278201314926064219465595668938476948490993168002105884738596613976939475723095129410301184225964020713598547979125863856570172346063025277737331569002134719350081203813912842595047932639453661124726282616125921220507911586848952321

kq 52321