We have: \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^{\text{4}}\)

                    \(=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)

                    \(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

                    \(=\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)-y^2\right]\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)+y^2\right]+y^4\)

                    \(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)

                    \(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

So A is a square number.

We have: A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

                    =[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y4

                    =(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

                    =[(x2+5xy+5y2)−y2][(x2+5xy+5y2)+y2]+y4

                    =(x2+5xy+5y2)2−y4+y4

                    =(x2+5xy+5y2)2

So A is a square number.